Question

已知函數，其中m，a均為實數．

（1）求的極值；

（2）設，若對任意的，恒成立，求的最小值；

（3）設，若對任意給定的，在區(qū)間上總存在，使得 成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）極大值為1，無極小值．（2）3 ?．（3）．

【解析】

試題分析：（1）求函數極值，先明確定義域為再求其導數為．由，得x = 1.分析導數在定義區(qū)間符號正負，確定函數先增后減，所以y =有極大值為1，無極小值．（2）不等式恒成立問題，先化簡不等式．化簡不等式的難點有兩個，一是絕對值，二是兩個參量可從函數單調性去絕對值，分析兩個函數，一是，二是.利用導數可知兩者都是增函數，故原不等式等價于，變量分離調整為,這又等價轉化為函數在區(qū)間上為減函數，即在上恒成立．繼續(xù)變量分離得恒成立，即.最后只需求函數在上最大值,就為的最小值.（3）本題含義為：對于函數在上值域中每一個值，函數在上總有兩個不同自變量與之對應相等．首先求出函數在上值域，然后根據函數在上必須不為單調函數且每段單調區(qū)間對應的值域都需包含.由在不單調得，由每段單調區(qū)間對應的值域都需包含得，.

試題解析：（1），令，得x = 1． 1分

列表如下：

x	（?∞，1）	1	（1，∞）
		0	?
g(x)	↗	極大值	↘

 

 

 

 

 

 

∵g(1) = 1，∴y =的極大值為1，無極小值． 3分

（2）當時，，．

∵在恒成立，∴在上為增函數． 4分

設，∵> 0在恒成立，

∴在上為增函數． 5分

設，則等價于，

即．

設，則u(x)在為減函數．

∴在（3，4）上恒成立． 6分

∴恒成立．設，∵=，x?[3，4]，

∴，∴< 0，為減函數．

∴在[3，4]上的最大值為v(3) = 3 ?． 8分

∴a≥3 ?，∴的最小值為3 ?． 9分

（3）由（1）知在上的值域為． 10分

∵，，

當時，在為減函數，不合題意． 11分

當時，，由題意知在不單調，

所以，即．①12分

此時在上遞減，在上遞增，

∴，即，解得．②

由①②，得． 13分

∵，∴成立． 14分

下證存在，使得≥1．

取，先證，即證．③

設，則在時恒成立．

∴在時為增函數．∴，∴③成立．

再證≥1．

∵，∴時，命題成立．

綜上所述，的取值范圍為． 16分

考點：函數極值，不等式恒成立