Question

【題目】設(shè)個(gè)不全相等的正數(shù)，，…，依次圍成一個(gè)圓圈.

（Ⅰ）設(shè)，且，，，…，是公差為的等差數(shù)列，而，，，…，是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列，，…，的前項(xiàng)和滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)，，若數(shù)列，，…，每項(xiàng)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項(xiàng)，求；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，，求符合條件的的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）見(jiàn)解析.（Ⅲ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：利用，，，…，是公比為的等比數(shù)列，求出，又，解得，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

確定出，依次類推

猜想，，，一共有個(gè)，再利用反證法進(jìn)行證明即可

解析：（Ⅰ）因，，，…，是公比為的等比數(shù)列，

從而，，由得，

故解得或（舍去）.因此，又，解得.

從而當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)，由，，，…，是公比為的等比數(shù)列得

.

因此.

（Ⅱ）由題意，，，∴，

得，，，，，.

（Ⅲ）猜想：，，一共有336個(gè).

證明：，，得

.

又 ，④

故有，. ⑤

若猜想不成立，設(shè)，其中，

若取即，則由此得，

而由③得，故，得，由②得，從而，

而，故，由此推得與題設(shè)矛盾，

同理若均可得與題設(shè)矛盾，因此為6的倍數(shù).