Question

已知f（x）=-

1

2

ax²+x-ln（1+x），其中a＞0．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在上[0，+∞）的最大值是0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分別討論①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，②當(dāng)a=1時(shí)③當(dāng)a＞1時(shí)的情況，從而求出函數(shù)的遞減區(qū)間；
（Ⅱ）討論①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，②當(dāng)a≥1時(shí)的函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）（a＞0）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
f′（x）=-

ax(x- 1-a a )

x+1

，
令f′（x）=0 得x₁=0，x₂=

1

a

-1，
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x₁＜x₂，
f（x）與f′（x）的變化情況如表

x	（-1，0）	0	（0， 1 a -1）	1 a -1	（ 1 a -1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	減	f（0）	增	f（ 1 a -1）	減

所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，0），（

1

a

-1，+∞）；                 
②當(dāng)a=1時(shí)，x₁=x₂=0，f′（x）=-

x2

x+1

≤0，
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，+∞）；                          
③當(dāng)a＞1時(shí)，-1＜x₂＜0，
f（x）與f′（x）的變化情況如下表

x	（-1， 1 a -1）	1 a -1	（ 1 a -1，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	減	f（ 1 a -1）	增	f（0）	減

所以f（x）的單調(diào)遞增減區(qū)間是（-1，

1

a

-1），（0，+∞）．
綜上，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增減區(qū)間是（-1，0），（

1

a

-1，+∞）；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增減區(qū)間是（-1，

1

a

-1），（0，+∞）；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增減區(qū)間是（-1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（

1

a

-1），
但f（

1

a

-1）＞f（0）=0，所以0＜a＜1不合題意；                
②當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
f（x）≤f（0），可得f（x）在[0，+∞）上的最大值為f（0）=0，符合題意．
∴f（x）在[0，+∞）上的最大值為0時(shí)，a的取值范圍是{a|a≥1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，是一道中檔題．