Question

3．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），P是雙曲線C右支上一點，且|PF₂|=|F₁F₂|．若直線PF₁與圓x²+y²=a²相切，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 先設PF₁與圓相切于點M，利用|PF₂|=|F₁F₂|，及直線PF₁與圓x²+y²=a²相切，可得幾何量之間的關系，從而可求雙曲線的離心率的值．

解答 解：解：設PF₁與圓相切于點M，
因為|PF₂|=|F₁F₂|，所以△PF₁F₂為等腰三角形，N為PF₁的中點，
所以|F₁M|=$\frac{1}{4}$|PF₁|，
又因為在直角△F₁MO中，|F₁M|²=|F₁O|²-a²=c²-a²，所以|F₁M|=b=$\frac{1}{4}$|PF₁|①
又|PF₁|=|PF₂|+2a=2c+2a   ②，
c²=a²+b² ③
由①②③可得c²-a²=（$\frac{c+a}{2}$）²，
即為4（c-a）=c+a，即3c=5a，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查直線與圓相切，考查雙曲線的定義，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意運用平面幾何的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．