Question

18．已知雙曲線C：mx²+ny²=1（mn＜0）的一條漸近線與圓x²+y²-6x-2y+9=0相切，則C的離心率等于（　　）

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{5}{3}$或$\frac{25}{16}$
• D． $\frac{5}{3}$或$\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 討論當(dāng)m＞0，n＜0時，雙曲線的焦點在x軸上，求得漸近線方程，圓的圓心和半徑，運用相切的條件：d=r，由點到直線的距離公式化簡可得16m=-9n，化雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，運用離心率公式計算可得；同樣討論當(dāng)m＜0，n＞0時，雙曲線的焦點在y軸上，可得離心率．

解答 解：當(dāng)m＞0，n＜0時，雙曲線的焦點在x軸上，
可得漸近線方程為$\sqrt{m}$x±$\sqrt{-n}$y=0，
圓x²+y²-6x-2y+9=0的圓心為（3，1），半徑為1，
由題意可得d=$\frac{|3\sqrt{m}-\sqrt{-n}|}{\sqrt{m-n}}$=1，
化簡可得16m=-9n，
雙曲線C：mx²+ny²=1的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{m}}$-$\frac{{y}^{2}}{-\frac{1}{n}}$=1（m＞0，n＜0），
a²=$\frac{1}{m}$，b²=-$\frac{1}{n}$，
離心率為$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+（-\frac{m}{n}）}$=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}$=$\frac{5}{4}$；
當(dāng)m＜0，n＞0時，雙曲線的焦點在y軸上，
可得漸近線方程為$\sqrt{-m}$x±$\sqrt{n}$y=0，
圓x²+y²-6x-2y+9=0的圓心為（3，1），半徑為1，
由題意可得d=$\frac{|3\sqrt{-m}-\sqrt{n}|}{\sqrt{n-m}}$=1，
化簡可得16m=-9n，
雙曲線C：mx²+ny²=1的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{n}}$-$\frac{{x}^{2}}{-\frac{1}{m}}$=1（m＜0，n＞0），
a'²=$\frac{1}{n}$，b'²=-$\frac{1}{m}$，
離心率為$\sqrt{1+（\frac{b′}{a′}）^{2}}$=$\sqrt{1+（-\frac{n}{m}）}$=$\sqrt{1+\frac{16}{9}}$=$\frac{5}{3}$．
綜上可得，離心率為$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{4}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用分類討論思想方法，結(jié)合直線和圓相切的條件：d=r，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．