已知
π
2
<β<α<
4
,且cos(α-β)=
12
13
,sin(α+β)=-
3
5

(1)求α-β,α+β的取值范圍;
(2)求cos2β的值.
分析:(1)由兩角的范圍和它們本身的大小關(guān)系,可以推出兩角的和與差的范圍,求兩角差的范圍時,要首先求出-β的范圍,兩者相加;(2)2β的余弦求法,要以α、β兩角的和與差為基礎(chǔ),通過角的變換2β=(α+β)-(α-β)得到.
解答:解:(1)由
π
2
<β<α<
4
,得-
4
<-β<-
π
2
,又
π
2
<α<
4
,
兩式相加有-
π
4
<α-β<
π
4
,而α-β>0,∴0<α-β<
π
4
,
π
2
<α<
4
π
2
<β<
4
相加得π<α+β<
2
,
α-β∈(0,
π
4
)
,α+β∈(π,
2
)
;
(2)由(1)及已知得sin(α-β)=
1-(
12
13
)
2
=
5
13
,cos(α+β)=-
1-(-
3
5
)
2
=-
4
5

∴cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=(-
4
5
12
13
+(-
3
5
5
13

=-
63
65
點評:角的變換是三角函數(shù)中的一種題型,常見的變換如:2β=(α+β)-(α-β),2α=(α+β)+(α-β),β=(α+β)-α,β=(
β
2
-
α
2
)+ (
β
2
+
α
2
)
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=3sin(
x
2
+
π
6
)+3
,(x∈R)
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1
2
,則sin(
2
-2α)=
-
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2
-
1
2

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