Question

19.設(shè)函數(shù)f（x）=|1－|,x>0.

（Ⅰ）證明:當(dāng)0<a<b,且f（a）=f（b）時(shí),ab>1;

（Ⅱ）點(diǎn)P（x₀,y₀）（0<x₀<1）在曲線y=f（x）上,求曲線在點(diǎn)P處的切線與x軸和y軸的正向所圍成的三角形面積表達(dá)式（用x₀表示）.

Answer 1

19.本小題主要考查函數(shù)與不等式等知識(shí)和思維能力.

（Ⅰ）證法一：因f（x）=|1－|=

故f（x）在（0,1）上是減函數(shù),而在（1,+∞）上是增函數(shù).

由0<a<b且f（a）=f（b）得

0<a<1<b和－1=1－,

即+=22ab=a+b>2.

故>1,即ab>1.

證法二：由f（a）=f（b）得.

若1－與1－同號(hào)，

可得1－＝1－a＝b.

與0<a<b矛盾.

故1－與1－必異號(hào).

即－1=1－+=2.

即+=22ab=a+b>2.

故>1,即ab>1.

（Ⅱ）解法一：0<x<1時(shí),y=f（x）=|1－|=－1,

∴f′（x₀）=－,  0<x₀<1.

曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x₀,y₀）處的切線方程為：

y－y₀=－（x－x₀）,

即y=－+.

∴切線與x軸、y軸正向的交點(diǎn)為（x₀（2－x₀）,0）和（0,（2－x₀））.

故所求三角形面積的表達(dá)式為

A（x₀）=x₀（2－x₀）·（2－x₀）=（2－x₀）².

解法二：設(shè)過點(diǎn)P（x₀,y₀）處的切線方程為：y－y₀=k（x－x₀），k為待定系數(shù).

代入y=f（x）=－1  （0<x<1）并整理得

kx²+（y₀+1－kx₀）x－1=0.

因?yàn)?I>P是切點(diǎn)，所以方程有重根，故差別式

Δ=（y₀+1－kx₀）²+4k=（）²+4k=0.

即（+kx₀）²=0k=－ （0<x0<1）.

曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x₀,y₀）處的切線方程為：y－y₀=－（x－x₀）,

即y=－+.

∴切線與x軸、y軸正向的交點(diǎn)為（x₀（2－x₀）,0）和（0,（2－x₀））.

故所求三角形面積表達(dá)式為：

A（x₀）=x₀（2－x₀）·（2－x₀）=（2－x₀）².