Question

已知函數(shù)f（x）=（log₂x-2）（log₄x-

1

2

）
（1）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求該函數(shù)的值域；
（2）若f（x）＞mlog₂x對(duì)于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）=（log₂x-2）（log₄x-

1

2

）=

1

2

（log₂x）2-

3

2

log₂x+1，2≤x≤4，令t=log₂x，則y=

1

2

t2-

3

2

t+1=

1

2

（t-

3

2

）²-

1

8

，由此能求出函數(shù)的值域．
（2）令t=log₂x，得

1

2

t²-

3

2

t+1＞mt對(duì)于2≤t≤4恒成立，從而得到m＜

1

2

t+

1

t

-

3

2

對(duì)于t∈[2，4]恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（t）=

1

2

t+

1

t

-

3

2

，t∈[2，4]，能求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=（log₂x-2）（log₄x-

1

2

）
=

1

2

（log₂x）²-

3

2

log₂x+1，2≤x≤4
令t=log₂x，則y=

1

2

t²-

3

2

t+1=

1

2

（t-

3

2

）2-

1

8

，
∵2≤x≤4，
∴1≤t≤2．
當(dāng)t=

3

2

時(shí)，y_min=-

1

8

，當(dāng)t=1，或t=2時(shí)，y_max=0．
∴函數(shù)的值域是[-

1

8

，0]．
（2）令t=log₂x，得

1

2

t²-

3

2

t+1＞mt對(duì)于2≤t≤4恒成立．
∴m＜

1

2

t+

1

t

-

3

2

對(duì)于t∈[2，4]恒成立，
設(shè)g（t）=

1

2

t+

1

t

-

3

2

，t∈[2，4]，
∴g（t）=

1

2

t+

1

t

-

3

2

=

1

2

（t+

2

t

）-

3

2

，
∵g（t）=

1

2

t+

1

t

-

3

2

在[2，4]上為增函數(shù)，
∴當(dāng)t=2時(shí)，g（t）_min=g（2）=0，
∴m＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值域的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．