Question

已知函數(shù)f（x）=

bx+1

2x+a

，a、b為常數(shù)，且ab≠2，若對(duì)一切x恒有f（x）f（

1

x

）=k（k為常數(shù)）則k=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題

分析：由f（x）求出f（

1

x

），再由f（x）f（

1

x

）=k化簡(jiǎn)求出k值，而后驗(yàn)證．

解答： 解：∵f（x）=

bx+1

2x+a

，∴f（

1

x

）=

b 1 x +1

2 1 x +a

=

b+x

2+ax

，
則f（x）f（

1

x

）=

bx+1

2x+a

•

b+x

2+ax

則f（x）f（

1

x

）-k=

(bx+1)(b+x)-k(2x+a)(2+ax)

(2x+a)(2+ax)

=

(b-2ak)x2+(b2+1-4k-ka2)x+b-2ak

(2x+a)(2+ax)

=0恒成立．
則

b-2ak=0 b2+1-4k-a2k=0

消去b可得
4a²k²-（4+a²）k+1=0，
解得，k=

1

4

，k=

1

a2

．
若k=

1

a2

，則b=2ak=

2

a

，則ab=2，
與ab≠2相矛盾，舍去．
則k=

1

4

．
故答案為

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)與恒成立問(wèn)題，化簡(jiǎn)很容易出錯(cuò)，要細(xì)致．