Question

19．當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，4^x＜log_ax，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• D． （1，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 結(jié)合題意分類討論a＞1和0＜a＜1兩種情況，得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式，求解不等式即可求得最終結(jié)果．

解答 解：由題意可得：
當(dāng)a＞1時(shí)，結(jié)合$0＜x＜\frac{1}{2}$ 可得：${log}_{a}x＜0＜{4}^{x}$，不滿足題意；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=log_ax在區(qū)間 $（0，\frac{1}{2}）$上單調(diào)遞減，y=4^x在區(qū)間$（0，\frac{1}{2}）$ 上單調(diào)遞增，

滿足題意4^x＜log_ax時(shí)有：${4}^{\frac{1}{2}}≤{log}_{a}（\frac{1}{2}）$，即：${log}_{a}（\frac{1}{2}）≥2$．
求解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是：$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分類討論的思想，對(duì)數(shù)不等式的解法等，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于中等題．