Question

7．已知函數(shù)f（x）=3^|x|-3^-x．
（1）若f（x）=4，求x的值；
（2）若3^t•f（2t）+m•f（t）≥0對于t∈[1，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當x≤0時得到f（x）=0而f（x）=4，所以無解；當x≥0時解出f（x）=4求出x即可；
（2）由3^t•f（2t）+m•f（t）≥0對于t∈[1，2]恒成立，得到m≥-（3^2t+1）對于t∈[1，2]恒成立，即可得到m的范圍即可．

解答 解：（1）當x＜0時，f（x）=3^-x-3^-x=0，
∴f（x）=4無解；
當x≥0時，3^x-3^-x=4，
∴（3^x）²-4•3^x-1=0，
∵3^x＞0，
∴3^x=2+$\sqrt{5}$．
∴x=log₃（2+$\sqrt{5}$）．
（2）∵3^t•f（2t）+m•f（t）≥0對于t∈[1，2]恒成立，
∴3^t•（3^2t-3^-2t）+m•（3^t-3^-t）≥0對于t∈[1，2]恒成立
∵t∈[1，2]，
∴3^t-3^-t＞0，
∴m≥-（3^2t+1）對于t∈[1，2]恒成立，
設(shè)y=-（3^2t+1），
∵t∈[1，2]，
∴3^t∈[3，9]，
∴當3^t=3時，y取到最大值是-10，
∴m≥-10．

點評 本題考查了指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，主要利用整體思想和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解，屬于中檔題．