已知拋物線S的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上，△ABC三個頂點(diǎn)都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC所在直線的方程為l：4x十y－20＝0．

(Ⅰ)求拋物線S的方程；

(Ⅱ)若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，問：是否存在定點(diǎn)M，使過點(diǎn)M的動直線與拋物線S交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ＝？

答案：
解析：

　　解：(1)設(shè)拋物線S的方程為＝2px，把直線l：4x＋y－20＝0代入，得

　　由△＞0，有P＞0或p＜－160，

　　設(shè)

　　同理，

　　△ABC的重心

　　

　　

　　∵點(diǎn)A在拋物線S上，

　　∴拋物線S的方程為＝16x．

　　(2)設(shè)過定點(diǎn)M的動直線方程為y＝kx＋b，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，顯然k≠0，b≠0，

　　

　　

　　把①代入拋物線方程，得

　　

　　

　　

　　∵k≠0，b≠0，∴b＝－16k，

　　∴動直線方程為y＝kx－16k，

　　從而y＝k(x－16)，

　　∴動直線必過定點(diǎn)(16，0)，

　　若PQ的斜率不存在，直線x＝16與拋物線交于P(16，－16)、Q(16，16)兩點(diǎn)，仍有∠POQ＝．

　　∴存在定點(diǎn)M(16，0)滿足條件．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，△ABC的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0．
（I）求拋物線S的方程；
（II）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q是拋物線S上的兩動點(diǎn)，且滿足PO⊥OQ．試說明動直線PQ是否過一個定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，△ABC的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0．
（I）求拋物線S的方程；
（II）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q是拋物線S上的兩動點(diǎn)，且滿足PO⊥OQ．試說明動直線PQ是否過一個定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，且的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC所在直線的方程為

   （I）求拋物線S的方程；

   （II）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P，Q是拋物線S上的兩動點(diǎn)，且滿足.試說明動直線PQ是否過定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,△ABC的三個頂點(diǎn)都在拋物線上,且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn),若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0.

(1)求拋物線S的方程;

(2)若O是坐標(biāo)原點(diǎn),P、Q是拋物線S上的兩個動點(diǎn),且滿足OP⊥OQ.試說明動直線PQ是否過定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008年湖北省武漢市華中師大一附中高三五月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷（文理合卷）（解析版） 題型：解答題

已知拋物線S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，△ABC的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0．
（I）求拋物線S的方程；
（II）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q是拋物線S上的兩動點(diǎn)，且滿足PO⊥OQ．試說明動直線PQ是否過一個定點(diǎn)．

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