Question

已知f（x）的定義域?yàn)镽，且滿足對于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時，f（x）＜0，且f（1）=-3；
（1）求f（0）與f（3）；              
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）判斷f（x）的單調(diào)性；          
（4）解不等式f（x²+1）+f（x）≤-9．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法即可求f（0）與f（3）；              
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的奇偶性的定義，利用賦值法即可得到結(jié)論．；
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）的單調(diào)性；          
（4）將不等式f（x²+1）+f（x）≤-9進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．．

解答： 解：（1）令y=0，則由條件得f（x+0）=f（x）+f（0），即f（0）=0，
當(dāng)x=y=1時，f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=2×（-3）=-6，
f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=-3-6=-9；              
（2）∵f（0）=0，∴令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），則f（x）是奇函數(shù)；
（3）設(shè)x₁＜x₂，則設(shè)x₂-x₁＞0，此時f（x₂-x₁）＜0，
即f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0，則f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）的單調(diào)遞減；          
（4）不等式f（x²+1）+f（x）≤-9等價為f（x²+1）+f（x）≤f（3），
即f（x²+1+x）≤f（3），
∵函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減，
∴x²+1+x≥3，即x²+x-2≥0，
解得x≥1或x≤-2，
即不等式的解集為{x|x≥1或x≤-2}．

點(diǎn)評：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．