Question

已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并加以證明；
（3）判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調性并加以證明．

Answer 1

解：（1）由題意令，解得-1＜x＜1，所以函數(shù)的定義域是（-1，1）
（2）此函數(shù)是一個奇函數(shù)，證明如下
由（1）知函數(shù)的定義域關于原點對稱，且=-，故函數(shù)是奇函數(shù)；
（3）此函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，
由于x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，∴1-x₁＞1-x₂＞0，1+x₂＞1+x₁＞0，可得，
所以
即有f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
故函數(shù)在定義域是減函數(shù)
分析：（1）求函數(shù)f（x）的定義域，可令，解出此不等式的解集即可得到所求函數(shù)的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性，要用定義法，由函數(shù)解析式研究f（-x）與f（x）的關系，即可證明出函數(shù)的性質；
（3）此函數(shù)是一個減函數(shù)，由定義法證明要先任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，再兩函數(shù)值作差，判斷差的符號，再由定義得出結論．
點評：本題考查了求函數(shù)的定義域，對數(shù)的運算法則，判斷函數(shù)的奇偶性，定義法證明函數(shù)單調性，正確解答本題，關鍵是熟練記憶函數(shù)的性質及這些性質判斷的方法，其中判斷函數(shù)的單調性是本題的難點，定義法判斷函數(shù)的單調性，其步驟是；取，作差，判號，得出結論，其中判號這一步易疏漏，切記