Question

已知函數(shù)f（x）=x，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′（2）=3，即
∴a=-8．
由切點P（2，f（2）在直線y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9．
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=．
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)可得．
當(dāng)a≤0時，∵x≠0，∴f′（x）＞0，這時f（x）在（-∞，0），（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
當(dāng)a＞0時，令f′（x）=0，解得x=±．
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-）			（0，）
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

所以，f（x）在（-∞，-），內(nèi)是增函數(shù)，在，（0，）內(nèi)是減函數(shù)．
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得a的值，再利用切點P（2，f（2）在直線y=3x+1上，可得b的值，從而，可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)性．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．