Question

7．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為$\frac{π}{2}$，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M（$\frac{2π}{3}$，-2）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)增區(qū)間；
（2）求 當(dāng)x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由最低點(diǎn)可求A，由已知可得周期T=π，利用周期公式可求ω，利用點(diǎn)$M（{\frac{2π}{3}，-2}）$在圖象上，結(jié)合范圍$φ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，可求φ，可求函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$，可求范圍$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}}]$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求其值域．

解答 解：（1）∵依題意，由最低點(diǎn)為$M（{\frac{2π}{3}，-2}）$，得A=2，
又∵周期T=π，∴ω=2．
∵由點(diǎn)$M（{\frac{2π}{3}，-2}）$在圖象上，
∴得$2sin（{\frac{4π}{3}+φ}）=-1$，
∴$\frac{4π}{3}+φ=-\frac{π}{2}+2kπ，k∈{Z}$，
∴$φ=-\frac{11π}{6}+2kπ$．
∵$φ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
∴$φ=\frac{π}{6}$，
∴$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間是$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]（k∈{Z}）$．
（2）∵$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$，$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}}]$．
當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取得最大值2；
當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}$，$x=\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值-1，故f（x）的值域?yàn)閇-1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．