Question

2．已知函數(shù)f（x）=ln（-x）+ax-$\frac{1}{x}$（a為常數(shù)），在x=-1時(shí)取極值．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（-x）+2x，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題定義域?yàn)閧x|x＜0}，由在x=-1時(shí)取極值，可得f′（-1）=0，解得a并驗(yàn)證即可得出．
（Ⅱ）g（x）=f（-x）+2x=lnx+$\frac{1}{x}$+2x（x＞0），g′（x）=$\frac{（2x-1）（x+1）}{{x}^{2}}$，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由題定義域?yàn)閧x|x＜0}，
f′（x）=$\frac{1}{x}+a+\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}}$，
∵在x=-1時(shí)取極值，∴f′（-1）=$\frac{a}{{x}^{2}}$=0，解得a=0．
經(jīng)過(guò)驗(yàn)證a=0滿足條件．
（Ⅱ）g（x）=f（-x）+2x=lnx+$\frac{1}{x}$+2x（x＞0），
g′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$+2=$\frac{2{x}^{2}+x-1}{{x}^{2}}$=$\frac{（2x-1）（x+1）}{{x}^{2}}$，
∴g（x）在$（0，\frac{1}{2}]$上單調(diào)遞減，在$[\frac{1}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增．
∴g（x）在x=$\frac{1}{2}$取得最小值$g（\frac{1}{2}）$=3-ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．