Question

5．在橢圓x²+4y²=16中，求通過點(diǎn)M（2，1）且被這點(diǎn)平分的弦所在的直線的方程和弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 設(shè)直線交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法求得斜率，則直線方程可求，然后聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，再利用弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)．

解答 解：設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)A，B，再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}=16}\\{{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}=16}\end{array}\right.$，
兩式相減，得$（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）+4（{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}）=0$，
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
∵點(diǎn)M（2，1）是AB的中點(diǎn)，
∴k_AB=$-\frac{4}{4×2}=-\frac{1}{2}$，
則所求直線方程為y-1=$-\frac{1}{2}（x-2）$，即y=-$\frac{1}{2}x+2$；
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，得x²-4x=0．
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=0，
則|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+（-\frac{1}{2}）^{2}}×\sqrt{{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與橢圓相交關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了“舍而不求”的解題思想方法，考查弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，是中檔題．