Question

已知正三棱錐兩個(gè)相鄰側(cè)面所成二面角為θ，那么θ的取值范圍

1. A.
   60°＜θ＜180°
2. B.
   θ＜60°
3. C.
   θ＞90°
4. D.
   θ＞90°或θ＜60°

Answer 1

A
分析：假設(shè)頂點(diǎn)無(wú)限遠(yuǎn)離，那么三個(gè)側(cè)面都垂直于底面，這是最小極限，此時(shí)三棱錐有限底面積，無(wú)限高，看似是三棱柱，底邊的夾角就是面的夾角，所以?shī)A角為60°；
假設(shè)頂點(diǎn)無(wú)限趨近于底面的中心，那么這3個(gè)側(cè)面就趨向一個(gè)平面，這是最大極限，此時(shí)三棱錐有限高，無(wú)限底面積，看似是平面，那么夾角180°．
解答：
1、當(dāng)此正三棱錐的高無(wú)窮大時(shí)，則三棱錐的形狀就近似為一個(gè)三棱柱，那么三個(gè)側(cè)面都垂直于底面，底邊的夾角就是面的夾角，故任意兩個(gè)相鄰的側(cè)面所形成的二面角為60°；
2、當(dāng)此正三棱錐的高無(wú)窮小時(shí)，則頂點(diǎn)就接近為底面正三角形的中心，那么這3個(gè)側(cè)面就趨向一個(gè)平面，故任意兩個(gè)相鄰的側(cè)面所形成的二面角為180°．
所以若正三棱錐兩個(gè)相鄰側(cè)面所成二面角為θ，那么θ的取值范圍是：60°＜θ＜180°．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，二面角和線(xiàn)面關(guān)系等基本知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力．