【題目】設函數(shù)f(x)= (a>b>0)的圖象是曲線C.
(1)在如圖的坐標系中分別做出曲線C的示意圖,并分別標出曲線C與x軸的左、右交點A1 , A2 .
(2)設P是曲線C上位于第一象限的任意一點,過A2作A2R⊥A1P于R,設A2R與曲線C交于Q,求直線PQ斜率的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵f(x)= (a>b>0),
∴y= ,
∴a2y2=b2(a2﹣x2),∴b2x2+a2y2=b2a2,
∴ =1,a>b>0,且y≥0,
其圖象表示焦點在x軸上橢圓的一部分,
如圖所示,A1 (﹣a,0)、A2(a,0)
(2)解:曲線C的方程是 =1(a>b>0,y≥0),
設 直線A1P的斜率是k,
因為P是曲線C上位于第一象限內的任意一點,所以k∈(0, ).
設P,Q的坐標分別是(x1,y1),(x2,y2),則直線A1P的方程是y=k(x+a),
由 消去y得,(a2k2+b2)x2+2a3k2x+a2(a2k2﹣b2)=0,
解得x1= ,y1= .
將上式中的a換成﹣a,k換成﹣ 得x2= ,y2= ,
∴KPQ= = (k﹣ ),由于y= (k﹣ )在∈(0, )上單調遞增,
∴KPQ= = (k﹣ )< ( ﹣ )= ,
故直線PQ斜率的取值范圍為(﹣∞, ).
【解析】(1)化簡函數(shù)的解析式為 =1,a>b>0,且y≥0,其圖象表示焦點在x軸上橢圓的一部分,數(shù)形結合求得,A1 和A2的坐標.(2)先考察一般性,直線A1P的方程是y=k(x+a),與橢圓方程聯(lián)立,求得P,Q的坐標,可得直線PQ斜率,即可求出取值范圍.
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【題目】已知,命題對,不等式恒成立;命題對,不等式恒成立.
(1)若命題為真命題,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若為假,為真,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)令 ,寫出Tn關于n的表達式,并求滿足Tn> 時n的取值范圍.
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【題目】某人在連續(xù)7天的定點投籃的分數(shù)統(tǒng)計如下:在上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析中,一部分計算如右圖所示的算法流程圖(其中 是這7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)),則輸出的S的值是( )
觀測次數(shù)i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
觀測數(shù)據(jù)ai | 5 | 6 | 8 | 6 | 8 | 8 | 8 |
A.1
B.
C.
D.
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【題目】如圖,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AD=a,E為CD上任意一點.
(I)求證:B1E⊥AD1;
(Ⅱ)若CD= a,是否存在這樣的E點,使得AD1與平面B1AE成45°的角?說明理由.
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【題目】對于數(shù)列A:a1,a2,a3,…,定義A的“差數(shù)列” A:,…
(I)若數(shù)列A:a1,a2,a3,…的通項公式,寫出A的前3項;
(II)試給出一個數(shù)列A:a1,a2,a3,…,使得A是等差數(shù)列;
(III)若數(shù)列A:a1,a2,a3,…的差數(shù)列的差數(shù)列 (A)的所有項都等于1,且==0,求的值.
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【題目】若a,b是函數(shù)f(x)=x2﹣px+q(p>0,q>0)的兩個不同的零點,且a,b,﹣2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列,也可適當排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于( )
A.6
B.7
C.8
D.9
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【題目】某校從高一年級學生中隨機抽取100名學生,將他們期中考試的數(shù)學成績(均為整數(shù))分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到頻率分布直方圖(如圖所示).則分數(shù)在[70,80)內的人數(shù)是 .
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【題目】設函數(shù)f(x)=2lnx﹣ ﹣m,若關于x的方程f(f(x))=x恰有兩個不相等的實數(shù)根,則m的取值范圍是( )
A.(2ln3﹣4,+∞)
B.(﹣∞,2ln3﹣4)
C.(﹣4,+∞)
D.(﹣∞,﹣4)
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