【題目】設函數(shù)f(x)= (a>b>0)的圖象是曲線C.

(1)在如圖的坐標系中分別做出曲線C的示意圖,并分別標出曲線C與x軸的左、右交點A1 , A2
(2)設P是曲線C上位于第一象限的任意一點,過A2作A2R⊥A1P于R,設A2R與曲線C交于Q,求直線PQ斜率的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵f(x)= (a>b>0),

∴y= ,

∴a2y2=b2(a2﹣x2),∴b2x2+a2y2=b2a2,

=1,a>b>0,且y≥0,

其圖象表示焦點在x軸上橢圓的一部分,

如圖所示,A1 (﹣a,0)、A2(a,0)


(2)解:曲線C的方程是 =1(a>b>0,y≥0),

設 直線A1P的斜率是k,

因為P是曲線C上位于第一象限內的任意一點,所以k∈(0, ).

設P,Q的坐標分別是(x1,y1),(x2,y2),則直線A1P的方程是y=k(x+a),

消去y得,(a2k2+b2)x2+2a3k2x+a2(a2k2﹣b2)=0,

解得x1= ,y1=

將上式中的a換成﹣a,k換成﹣ 得x2= ,y2=

∴KPQ= = (k﹣ ),由于y= (k﹣ )在∈(0, )上單調遞增,

∴KPQ= = (k﹣ )< )=

故直線PQ斜率的取值范圍為(﹣∞, ).


【解析】(1)化簡函數(shù)的解析式為 =1,a>b>0,且y≥0,其圖象表示焦點在x軸上橢圓的一部分,數(shù)形結合求得,A1 和A2的坐標.(2)先考察一般性,直線A1P的方程是y=k(x+a),與橢圓方程聯(lián)立,求得P,Q的坐標,可得直線PQ斜率,即可求出取值范圍.

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D.(﹣∞,﹣4)

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