分析 由P(1,0),|AP|=√2,可得a=1,又∠F1PA=15°,可得∠F1PO=60°,運用正切函數的定義可得c,求得b,進而得到雙曲線的方程,設出直線MN的方程y=kx-2,代入雙曲線的方程,運用韋達定理和弦長公式,結合點在圓外的條件:d>r,解不等式即可得到所求范圍.
解答 解:由P(1,0),|AP|=√2,可得a=1,
又∠F1PA=15°,可得∠F1PO=60°,
即有c=|OP|tan60°=√3,
b=√c2−a2=√2,
即有雙曲線的方程為y2-x22=1.
設直線MN的方程為y=kx-2,
代入雙曲線的方程,可得(2k2-1)x2-8kx+6=0,
判別式為64k2-24(2k2-1)>0恒成立,
設M(x1,y1),N(x2,y2),
可得x1+x2=8k2k2−1,x1x2=62k2−1<0,①
弦長MN=√1+k2•√64k2(2k2−1)2−242k2−1=√1+k2•√16k2+24|2k2−1|,
可得MN的中點H為(4k2k2−1,22k2−1),
由點Q(0,2)在以MN為直徑的圓外,可得
|HQ|>12|MN|,即為16k2(2k2−1)2+(4−4k22k2−1)2>14(1+k2)(16k2+24(2k2−1)2),
化簡可得6k4-13k2+5>0,
解得k2>53或k2<12,
由①可得k2<12,解得-√22<k<√22.
故答案為:(-√22,√22).
點評 本題考查雙曲線的方程的求法,注意運用三角函數的定義,考查直線和雙曲線的方程聯立,運用韋達定理和弦長公式,同時考查點與圓的位置關系的判斷和運用,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.
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