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7.設雙曲線兩焦點分別為F1(0,c),F2(0,-c)(c>0),雙曲線一個頂點A(0,a),在x軸上有一點P(1,0),|AP|=2,∠F1PA=15°,過點R(0,-2)斜率為k的直線交雙曲線的下支于M,N兩點,若點Q(0,2)在以MN為直徑的圓外,則實數k的取值范圍是(-2222).

分析 由P(1,0),|AP|=2,可得a=1,又∠F1PA=15°,可得∠F1PO=60°,運用正切函數的定義可得c,求得b,進而得到雙曲線的方程,設出直線MN的方程y=kx-2,代入雙曲線的方程,運用韋達定理和弦長公式,結合點在圓外的條件:d>r,解不等式即可得到所求范圍.

解答 解:由P(1,0),|AP|=2,可得a=1,
又∠F1PA=15°,可得∠F1PO=60°,
即有c=|OP|tan60°=3,
b=c2a2=2,
即有雙曲線的方程為y2-x22=1.
設直線MN的方程為y=kx-2,
代入雙曲線的方程,可得(2k2-1)x2-8kx+6=0,
判別式為64k2-24(2k2-1)>0恒成立,
設M(x1,y1),N(x2,y2),
可得x1+x2=8k2k21,x1x2=62k21<0,①
弦長MN=1+k264k22k212242k21=1+k216k2+24|2k21|,
可得MN的中點H為(4k2k21,22k21),
由點Q(0,2)在以MN為直徑的圓外,可得
|HQ|>12|MN|,即為16k22k212+(44k22k21214(1+k2)(16k2+242k212),
化簡可得6k4-13k2+5>0,
解得k253或k212,
由①可得k212,解得-22<k<22
故答案為:(-22,22).

點評 本題考查雙曲線的方程的求法,注意運用三角函數的定義,考查直線和雙曲線的方程聯立,運用韋達定理和弦長公式,同時考查點與圓的位置關系的判斷和運用,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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