【題目】若函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的每一個值x1,在其定義域內(nèi)都存在唯一的x2,使f(x1)f(x2)=1成立,則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”.
(1) 判斷函數(shù)g(x)=2x是否為“依賴函數(shù)”,并說明理由;
(2) 若函數(shù)f(x)=(x–1)2在定義域[m,n](m>1)上為“依賴函數(shù)”,求實數(shù)m、n乘積mn的取值范圍;
(3) 已知函數(shù)f(x)=(x–a)2 (a<)在定義域[,4]上為“依賴函數(shù)”.若存在實數(shù)x[,4],使得對任意的tR,有不等式f(x)≥–t2+(s–t)x+4都成立,求實數(shù)s的最大值.
【答案】(1)g(x)=2x是“依賴函數(shù)”(2)(3)
【解析】試題分析:(1)取 ,可驗證函數(shù)為依賴函數(shù);(2)化簡條件得,從而,利用單調(diào)性求值域即可;(3)由題意知存在,使得對任意的t∈R,有不等式都成立,即恒成立,分離參數(shù)可得,轉(zhuǎn)化為求最值問題處理.
試題解析:
(1) 對于函數(shù)g(x)=2x的定義域R內(nèi)任意的x1,取x2= –x1,則g(x1)g(x2)=1,
且由g(x)=2x在R上單調(diào)遞增,可知x2的取值唯一,
故g(x)=2x是“依賴函數(shù)”;
(2) 因為m>1,f(x)=(x–1)2在[m,n]遞增,故f(m)f(n)=1,即(m–1)2(n–1)2=1,
由n>m>1,得(m–1) (n–1) =1,故,
由n>m>1,得1<m<2,
從而在上單調(diào)遞減,故,
(3) 因,故在上單調(diào)遞增,
從而,即,進(jìn)而,
解得或 (舍),
從而,存在,使得對任意的t∈R,有不等式都成立,即恒成立,由,
得,由,可得,
又在單調(diào)遞增,故當(dāng)時, ,
從而,解得,故實數(shù)的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的離心率為,且橢圓過點.過點做兩條相互垂直的直線、分別與橢圓交于、、、四點.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若, ,探究:直線是否過定點?若是,請求出定點坐標(biāo);若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】天水市第一次聯(lián)考后,某校對甲、乙兩個文科班的數(shù)學(xué)考試成績進(jìn)行分析,
規(guī)定:大于或等于120分為優(yōu)秀,120分以下為非優(yōu)秀.統(tǒng)計成績后,
得到如下的列聯(lián)表,且已知在甲、乙兩個文科班全部110人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為.
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合計 | 110 |
(1)請完成上面的列聯(lián)表;
(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),若按99.9%的可靠性要求,能否認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”;
(3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人:把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進(jìn)行編號,先后兩次拋擲一枚均勻的骰子,出現(xiàn)的點數(shù)之和為被抽取人的序號。試求抽到9號或10號的概率。
參考公式與臨界值表:。
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】已知數(shù)列,其前項和為,滿足,,其中,,,.
⑴若,,(),求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
⑵若數(shù)列是等比數(shù)列,求,的值;
⑶若,且,求證:數(shù)列是等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知復(fù)數(shù)z滿足|z|,z的實部大于0,z2的虛部為2.
(1)求復(fù)數(shù)z;
(2)設(shè)復(fù)數(shù)z,z2,z﹣z2之在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為A,B,C,求()的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計劃,收集了近期前期廣告投入量(單位:萬元)和收益(單位:萬元)的數(shù)據(jù)。對這些數(shù)據(jù)作了初步處理,得到了下面的散點圖(共個數(shù)據(jù)點)及一些統(tǒng)計量的值.為了進(jìn)一步了解廣告投入量對收益的影響,公司三位員工①②③對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,查閱大量資料,分別提出了三個回歸方程模型:
根據(jù), ,參考數(shù)據(jù): , .
(1)根據(jù)散點圖判斷,哪一位員工提出的模型不適合用來描述與之間的關(guān)系?簡要說明理由.
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),在余下兩個模型中分別建立收益關(guān)于投入量的關(guān)系,并從數(shù)據(jù)相關(guān)性的角度考慮,在余下兩位員工提出的回歸模型中,哪一個是最優(yōu)模型(即更適宜作為收益
附:對于一組數(shù)據(jù), ,…, ,其回歸直線的斜率、截距的最小二乘估計以及相關(guān)系數(shù)分別為:
, , ,
其中越接近于,說明變量與的線性相關(guān)程度越好.
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【題目】求滿足下列條件的橢圓或雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)橢圓的焦點在軸上,焦距為4,且經(jīng)過點;
(2)雙曲線的焦點在軸上,右焦點為,過作重直于軸的直線交雙曲線于,兩點,且,離心率為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓及點,若直線與橢圓交于點,且( 為坐標(biāo)原點),橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若斜率為的直線交橢圓于不同的兩點,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)在ΔABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若f(A)=1,c=10,cosB=,求ΔABC的中線AD的長.
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