Question

17．如圖，正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（Ⅰ） 求證：AC∥平面BEF；
（Ⅱ） 求平面BEF與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，取BE中點G，連接FG，OG，由已知條件推導(dǎo)出四邊形AFGO是平行四邊形，由此能夠證明AC∥平面BEF．
（Ⅱ）以D為原點，以DA為x軸，以DC為y軸，以DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面ABCD的法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能結(jié)合三角函數(shù)知識能求出平面BEF與平面ABCD所成角的正切值．

解答 （Ⅰ） 證明：設(shè)AC∩BD=O，取BE中點G，連接FG，OG
∴OG∥DE，且OG=$\frac{1}{2}$DE．
∵AF∥DE，DE=2AF，
∴AF∥OG，且OG=AF，
∴四邊形AFGO是平行四邊形，F(xiàn)G∥OA．
∴FG?平面BEF，AO?平面BEF，
∴AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（6分）
（Ⅱ）解：∵正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，
∴以D為原點，以DA為x軸，以DC為y軸，以DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵DE=DA=2AF=2，
∴B（2，2，0），E（0，0，2），F(xiàn)（2，0，1），D（0，0，0），
設(shè)平面BEF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{-2x+z=0}\\{2y-z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則y=1，z=2，$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
設(shè)平面ABCD與平面BEF所成二面角的平面角為α，由條件知α是銳角
平面ABCD的法向量可取為（0，0，1），
所以cosα=|$\frac{2}{1•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，所以tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$即為所求．

點評 本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面所成角的正切值的求法，解題時要注意向量法的合理運用．