Question

已知函數(shù)

1

2

（x-t）²+x-t-1≤x-1的定義域為R，對任意實數(shù)m，n都有f（m+n）=f（m）•f（n），且當(dāng)x＞0時，0＜f（x）＜1．
（1）證明：f（0）=1，且x＜0時，f（x）＞1；
（2）證明：f（x）在R上單調(diào)遞減；
（3）設(shè)A={（x，y）|f（x²）•f（y）=f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，A∩B=Φ，試確定a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,交集及其運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,集合

分析：（1）令m=0，n=1，并可判斷f（1）＞0，從而可求出f（0）=1．要證x＜0時，f（x）＞1，可設(shè)x＜0，則-x＞0，所以便可得到f（0）=f（-x）f（x），所以f（x）=

1

f(-x)

，因為0＜f（-x）＜1，所以f（x）＞1；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）＞0從而得到f（x）在R上單調(diào)遞減；
（3）根據(jù)已知條件及（1）（2）便可知方程組

x2+y=1 ax-y+2=0

無解，所以方程x²+ax+1=0無解，所以根據(jù)△＜0即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）證明：令m=0，n=1，則f（0+1）=f（0）f（1）；
∵當(dāng)x＞0時，0＜f（x）＜1，故f（1）＞0，∴f（0）=1；
設(shè)x＜0，-x＞0，則：f（-x+x）=f（-x）f（x）；
∴f（x）=

1

f(-x)

，∵0＜f（-x）＜1，∴

1

f(-x)

＞1；
即f（x）＞1，即x＜0時，f（x）＞1；
（2）證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₁-x₂）f（x₂）-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]；
∵x₁-x₂＜0，∴f（x₁-x₂）＞1，f（x₁-x₂）-1＞0，又f（x₂）＞0；
∴f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上單調(diào)遞減；
（3）根據(jù)已知條件及f（0）=1，f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，及A∩B=∅可得：
方程組

x2+y=1 ax-y+2=0

無解，即x²+ax+1=0無解；
∴a²-4＜0，解得-2＜a＜2；
∴a的取值范圍是（-2，2）．

點評：考查對條件f（m+n）=f（m）•f（n）運用的能力，單調(diào)遞減函數(shù)的定義，交集的概念，交集為空集與對應(yīng)方程組解的關(guān)系，一元二次方程的解和判別式△的關(guān)系．