Question

12．若（x+y）³（2x-y+a）⁵的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為256，則該展開(kāi)式中含字母x且x的次數(shù)為1的項(xiàng)的系數(shù)為0．

Answer 1

分析 二項(xiàng)式（x+y）³（2x-y+a）⁵中，令x=y=1得展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和，求出a的值；
再求（x+y）³（2x-y+1）⁵的展開(kāi)式中含字母x且x的系數(shù)．

解答 解：（x+y）³（2x-y+a）⁵的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為256，
令 x=y=1，得2³×（a+1）⁵=256，
解得a=1，
所以（x+y）³（2x-y+1）⁵的展開(kāi)式中：
（x+y）³=x³+3x²y+3xy²+y³，
（2x-y+1）⁵=[2x+（1-y）]⁵
=32x⁵+${C}_{5}^{1}$•2⁴•x⁴•（1-y）+…+${C}_{5}^{4}$•2x•（1-y）⁴+（1-y）⁵，
所以（x+y）³（2x-y+1）⁵的展開(kāi)式中含字母x項(xiàng)為：
3xy•（1-y）⁵+y³•${C}_{5}^{4}$•2x•（1-y）⁴，
令y=1求得含x項(xiàng)的系數(shù)為0+0=0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用問(wèn)題，是易錯(cuò)題．