Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|，x＞0}\\{{x}^{2}+4x+1，x≤0}\end{array}\right.$，
（1）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）g（x）=f（x）-a 若函數(shù)g（x）有四個零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，記g（x）得四個零點(diǎn)從左到右分別為x₁，x₂，x₃，x₄，求x₁+x₂+x₃x₄值．

Answer 1

分析 （1）討論當(dāng)x＞0時，當(dāng)x≤0時，由f（x）=0，解方程即可得到零點(diǎn)；
（2）由題意可得f（x）=a有四個不等實(shí)根，畫出函數(shù)y=f（x）的圖象，通過圖象觀察，即可得到a的范圍；
（3）由二次函數(shù)的對稱性和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合圖象即可得到所求和．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|，x＞0}\\{{x}^{2}+4x+1，x≤0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＞0時，由|lnx|=0解得x=1，
當(dāng)x≤0時，由x²+4x+1=0解得x=-2+$\sqrt{3}$或x=-2-$\sqrt{3}$，
可得函數(shù)的零點(diǎn)為1，-2+$\sqrt{3}$或-2-$\sqrt{3}$；
（2）g（x）=f（x）-a 若函數(shù)g（x）有四個零點(diǎn)，
即為f（x）=a有四個不等實(shí)根，畫出函數(shù)y=f（x）的圖象，
由圖象可得當(dāng)0＜a≤1時，f（x）的圖象和直線y=a有四個交點(diǎn)，
故函數(shù)g（x）有四個零點(diǎn)時a的取值范圍是0＜a≤1；
（3）由y=x²+4x+1的對稱軸為x=-2，
可得x₁+x₂=-4，
由|lnx₃|=|lnx₄|=a，
即-lnx₃=lnx₄，即為lnx₃+lnx₄=0
則x₃x₄=1，
故x₁+x₂+x₃x₄=-3．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．