Question

11．在△OAB中，已知|${\overrightarrow{OB}}$|=$\sqrt{2}$，|${\overrightarrow{AB}}$|=1，∠AOB=45°，若$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，且λ+2μ=2，則$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影的取值范圍是$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1]$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，且λ+2μ=2，得到$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}•$[λ$\overrightarrow{OA}$+（1-$\frac{λ}{2}$）$\overrightarrow{OB}$]，展開(kāi)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，求得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$=1+$\frac{λ}{2}$，再求出$|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{\frac{{λ}^{2}}{2}+2}$，代入投影公式，對(duì)λ分類求解得答案．

解答 解：由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，且λ+2μ=2，
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}•$[λ$\overrightarrow{OA}$+（1-$\frac{λ}{2}$）$\overrightarrow{OB}$]
=λ${\overrightarrow{OA}}^{2}$+（1-$\frac{λ}{2}$）$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，
又|${\overrightarrow{OB}}$|=$\sqrt{2}$，|${\overrightarrow{AB}}$|=1，∠AOB=45°，
∴由余弦定理求得|$\overrightarrow{OA}$|=1，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$=λ+（1-$\frac{λ}{2}$）×$1×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1+$\frac{λ}{2}$，
$|\overrightarrow{OP}|$=$\sqrt{[λ\overrightarrow{OA}+（1-\frac{λ}{2}）\overrightarrow{OB}]^{2}}$=$\sqrt{{λ}^{2}|\overrightarrow{OA}{|}^{2}+2λ（1-\frac{λ}{2}）\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+（1-\frac{λ}{2}）^{2}|\overrightarrow{OB}{|}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{λ}^{2}}{2}+2}$，
故$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OP}|}=\frac{1+\frac{λ}{2}}{\sqrt{\frac{{λ}^{2}}{2}+2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{λ+2}{\sqrt{{λ}^{2}+4}}$．
當(dāng)λ＜-2時(shí)，上式=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$$•\sqrt{\frac{（λ+2）^{2}}{{λ}^{2}+4}}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1+\frac{4λ}{{λ}^{2}+4}}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1+\frac{4}{λ+\frac{4}{λ}}}$∈$（-\frac{\sqrt{2}}{2}，0]$；
當(dāng)λ≥-2時(shí)，上式=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{\frac{（λ+2）^{2}}{{λ}^{2}+4}}$；
①λ=0，上式=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②-2≤λ＜0，上式=$\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1+\frac{4}{λ+\frac{4}{λ}}}$∈$[0，\frac{\sqrt{2}}{2}）$；
③λ＞0，上式=$\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1+\frac{4}{λ+\frac{4}{λ}}}$∈$（\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$．
綜上，$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影的取值范圍是$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1]$．
故答案為：$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考點(diǎn)是向量在幾何中的應(yīng)用，綜合考查了向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積的運(yùn)算及數(shù)量積公式，熟練掌握向量的相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，是中檔題．