Question

1．設(shè)a∈[1，4]，b∈[1，4]，現(xiàn)隨機(jī)地抽出一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）使得函數(shù)f（x）=4x²+a²與函數(shù)g（x）=-4$\sqrt$x的圖象有交點(diǎn)的概率為（　�。�

• A． $\frac{5}{27}$
• B． $\frac{5}{16}$
• C． $\frac{5}{54}$
• D． $\frac{1}{9}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出a，b對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用定積分求得曲邊梯形的面積，結(jié)合幾何概型的概率公式即可得答案．

解答 解：在區(qū)間[1，4]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)a和b，則$\left\{\begin{array}{l}{1≤a≤4}\\{1≤b≤4}\end{array}\right.$，對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積為9
要使函數(shù)f（x）=4x²+a²與函數(shù)g（x）=-4$\sqrt$x的圖象有交點(diǎn)，即方程4x²+a²=-4$\sqrt$x有實(shí)數(shù)根，
也就是方程$4{x}^{2}+4\sqrtx+{a}^{2}=0$有實(shí)數(shù)根．
則△=16b-16a²≥0，即b≥a²．
如圖，
由${∫}_{1}^{2}（{a}^{2}-1）da=（\frac{1}{3}{a}^{3}-a）{|}_{1}^{2}$=$\frac{8}{3}-2-\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$．
∴使得函數(shù)f（x）=4x²+a²與函數(shù)g（x）=-4$\sqrt$x的圖象有交點(diǎn)的概率為$\frac{3-\frac{4}{3}}{9}=\frac{5}{27}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的概率計(jì)算，作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出相應(yīng)的面積是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．