Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²+（2a-1）x
（1）當a=3時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（3）在（1）的條件下，設函數(shù)f（x）在x₁，x₂（x₁＜x₂）處取得極值，記點M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂）），證明：線段MN與曲線f（x）存在異于M、N的公共點．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）據(jù)求導法則求出導函數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值和導數(shù)之間的關系即可求出函數(shù)極值．
（2）令導數(shù)為0得兩個根，分類討論兩個根大小判斷根左右兩邊導數(shù)的符號，得函數(shù)單調性．
（3）由（1）求出極值點，由兩點式求出直線方程，與曲線方程聯(lián)立判斷有無其他公共點．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³+ax²+（2a-1）x，
∴f′（x）=x²+2ax+（2a-1）．
若a=3，f（x）=

1

3

x³+3x²+5x，f′（x）=x²+6x+5=（x+1）（x+5）．
由f′（x）＞0得x＞-1或x＜-5，此時函數(shù)單調遞增，
由f′（x）＜0得-5＜x＜-1，此時函數(shù)單調遞減，
即當x=-5函數(shù)取得極大值f（-5）=

25

3

，
當x=-1函數(shù)取得極小值f（-1）=-

7

3

，
（2）由（1）得f（x）=

1

3

x³+ax²+（2a-1）x，
∴f′（x）=x²+2ax+（2a-1）．
故f′（x）=x²+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1）．
令f′（x）=0，則x=-1或x=1-2a．
①當a＞1時，1-2a＜-1．
當x變化時，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，1-2a）	（1-2a，-1）	（-1，+∞）
f′（x）	+	-	+
f（x）	單調遞增	單調遞減	單調遞增

由此得，函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞），單調減區(qū)間為（1-2a，-1）．
②當a=1時，1-2a=-1．此時，f′（x）≥0恒成立，且僅在x=-1處f′（x）=0，故函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為R．
③當a＜1時，1-2a＞-1，同理可得函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，-1）和（1-2a，+∞），單調減區(qū)間為（-1，1-2a）．
綜上所述：當a＞1時，函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞），單調減區(qū)間為（1-2a，-1）；
當a=1時，函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為R；
當a＜1時，函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，-1）和（1-2a，+∞），單調減區(qū)間為（-1，1-2a）．
（3）由（1）知，故M（-5，

25

3

），N（-1，-

7

3

）．
所以直線MN的方程為y=-

8

3

x-5．
由

y= 1 3 x3+3x2+5x y=- 8 3 x-5

，得x³+9x²+23x+15=0．
令F（x）=x³+9x²+23x+15．
易得F（-4）=3＞0，F(xiàn)（-2）=-3＜0，而F（x）的圖象在（-4，-2）內是一條連續(xù)不斷的曲線，
故F（x）在（-4，-2）內存在零點x₀，這表明線段MN與曲線f（x）有異于M，N的公共點．

點評：本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想．