Question

如果三棱錐A-BCD的底面BCD是正三角形，頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影是△BCD的中心，則這樣的三棱錐稱為正三棱錐．給出下列結(jié)論：
①正三棱錐所有棱長(zhǎng)都相等；
②正三棱錐至少有一組對(duì)棱（如棱AB與CD）不垂直；
③當(dāng)正三棱錐所有棱長(zhǎng)都相等時(shí)，該棱錐內(nèi)任意一點(diǎn)到它的四個(gè)面的距離之和為定值；
④若正三棱錐所有棱長(zhǎng)均為2

2

，則該棱錐外接球的表面積等于12π．
⑤若正三棱錐A-BCD的側(cè)棱長(zhǎng)均為2，一個(gè)側(cè)面的頂角為40°，過點(diǎn)B的平面分別交側(cè)棱AC，AD于M，N．則△BMN周長(zhǎng)的最小值等于2

3

．
以上結(jié)論正確的是

 

（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)正三棱錐的定義，對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答： 解：①正三棱錐所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底邊長(zhǎng)都相等，故不正確；
②正三棱錐頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影是△BCD的中心，故對(duì)棱（如棱AB與CD）垂直，故不正確；
③當(dāng)正三棱錐所有棱長(zhǎng)都相等時(shí)，該棱錐內(nèi)任意一點(diǎn)到它的四個(gè)面的距離之和等于此正四面體的高，為定值，故正確；
④若正三棱錐所有棱長(zhǎng)均為2

2

，則該棱錐外接球半徑為

3

，表面積等于12π，正確．
⑤若正三棱錐A-BCD的側(cè)棱長(zhǎng)均為2，一個(gè)側(cè)面的頂角為40°，過點(diǎn)B的平面分別交側(cè)棱AC，AD于M，N．則△BMN周長(zhǎng)的最小值等于

22+22-2×2×2×(- 1 2 )

=2

3

，故正確．
故答案為：③④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查空間線面關(guān)系，類比、轉(zhuǎn)化思想，較難題．