Question

15．記關(guān)于x的不等式$\frac{x-a}{x+1}＜0$的解集為P，不等式|x-1|＜1的解集為Q．
（1）若a=3，求P；
（2）若Q⊆P，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=3，關(guān)于x的不等式即 $\frac{x-3}{x+1}$＜0，即 （x-3）（x+1）＜0，由此求得原不等式的解集．
（2）先解絕對(duì)值求出Q，再解分式不等式求得P，結(jié)合Q⊆P，求得正數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）若a=3，關(guān)于x的不等式$\frac{x-a}{x+1}＜0$，即 $\frac{x-3}{x+1}$＜0，即 （x-3）（x+1）＜0，
求得-1＜x＜3，可得原不等式的解集為P=（-1，3）．
（2）由不等式|x-1|＜1，可得-1＜x-1＜1，即 0＜x＜2，故原不等式的解集為Q=（0，2）．
由a＞0，關(guān)于x的不等式$\frac{x-a}{x+1}＜0$，即（x-a）（x+1）＜0，求得它的解集為P=（-1，a），
再根據(jù)Q⊆P，可得2≤a，故a的范圍為{a|a≥2}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分式不等式的解法，集合間的包含關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．