Question

5．已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1，記f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）g（x）=ax²-2ax+1+b的對(duì)稱軸為x=1，
∵a＞0，∴函數(shù)在[2，3]上為增函數(shù)，
∵g（x）在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=1}\\{g（3）=4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+b=1}\\{3a+b+1=4}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$．
（2）∵a=1．b=0，∴g（x）=x²-2x+1，
則f（x）=$\frac{g（x）}{x}$=x+$\frac{1}{x}$-2，
不等式f（2^x）-k•2^x≥0可化為：2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$-2-k•2^x≥0，
即k≤1+$（\frac{1}{{2}^{x}}）^{2}$-2•${（\frac{1}{{2}^{x}}）}^{\;}$，
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
令h（t）=t²-2t+1=（t-1）²，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
∴當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取得最小值h（1）=0，
∴k≤0．
故所以k的取值范圍是k≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了恒成立問(wèn)題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用二次函數(shù)的單調(diào)性求最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵在于把不等式在閉區(qū)間上有解轉(zhuǎn)化為分離變量后的參數(shù)k小于等于函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，是學(xué)生難以想到的地方，是難題．