Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1（n≥2，n∈N⁺），則a₂₀₁₆=1008．

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系可得a_n+1-a_n=$\frac{1}{n}{a}_{n}$，化為：$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{{a}_{n}}{n}$=…=$\frac{{a}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1（n≥2，n∈N⁺），
∴a₂=a₁=1，a_n+1=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1+$\frac{1}{n}{a}_{n}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{n}{a}_{n}$，
化為：$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{{a}_{n}}{n}$=…=$\frac{{a}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{n}{2}$．（n≥2）
則a₂₀₁₆=$\frac{2016}{2}$=1008．
故答案為：1008．

點評 本題考查了遞推關(guān)系的應用、數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．