Question

已知橢圓C的焦點(diǎn)是F₁（0，-

3

），F(xiàn)₂（0，

3

），點(diǎn)P在橢圓上且滿足|PF₁|+|PF₂|=4．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，右頂點(diǎn)為B，圓E與以線段OA₁為直徑的圓關(guān)于直線A₂B對稱．求圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得2a=4，c=

3

，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）以線段OA₁為直徑的圓的圓心為（0，1），半徑為1，直線A₂B的方程為2x-y-2=0．設(shè)點(diǎn)（0，1）關(guān)于直線A₂B的對稱點(diǎn)為（x₁，y₁），則

2× x1+0 2 - y1+1 2 -2=0 y1-1 x1 ×2=-1

，由此能求出圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：（1）∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|
∴2a=4，a=2，（2分）
∵c=

3

∴b²=a²-c²=1，（3分）
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+

y2

4

=1．（4分）
（2）以線段OA₁為直徑的圓的圓心為（0，1），半徑為1．（5分）
點(diǎn)A₂（0，-2），B（1，0），
∴直線A₂B的方程為y=2（x-1）即2x-y-2=0．（7分）
設(shè)點(diǎn)（0，1）關(guān)于直線A₂B的對稱點(diǎn)為（x₁，y₁），
則

2× x1+0 2 - y1+1 2 -2=0 y1-1 x1 ×2=-1

，（9分）
化簡得

2x1-y1-5=0 x1+2y1-2=0

，（10分）
解得

x1= 12 5 y1=- 1 5

，（12分）
∴圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-

12

5

)2+(y+

1

5

)2=1．（14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．