Question

給出下列三個(gè)結(jié)論：
①；
②（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）≥（a₁b₁+a₂b₂）²（a₁，a₂，b₁，b₂∈R）；
③（1+x）ⁿ＞1+nx（x＞-1且x≠0，n∈N且n≥2）．其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0個(gè)
B．1個(gè)
C．2個(gè)
D．3個(gè)

Answer 1

【答案】分析：用比較法可證得①②正確，用數(shù)學(xué)歸納法可證的③正確．
解答：解：由于 -==≥0，
∴ 成立，故 ①正確．
∵（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）-（a₁b₁+a₂b₂）² =a₁² b₂²+a₂² b₁²-2a₁b₁a₂b₂=（a₁b₂-a₂b₁）²≥0，
故 （a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）≥（a₁b₁+a₂b₂）²   成立，故 ②正確．
③是正確的，下面用數(shù)學(xué)歸納法證之：
當(dāng)n=2時(shí)，不等式顯然成立． 假設(shè)（1+x）^k＞1+kx，
則 （1+x）^k+1＞（ 1+kx  ）（1+x）=1+（ k+1）x+k x²＞1+（ k+1）x，
故當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立，∴③正確．
綜上，這三個(gè)命題都正確，
故選 D．
點(diǎn)評：本題考查不等式的性質(zhì)，不等式的證明方法，基本不等式的應(yīng)用．