Question

16．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$-alnx（a∈R）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x_l，x₂，其中x₁∈（0，e]，求g（x₁）-g（x₂）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值，最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{x}$，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，得x²-ax+1=0，
1）當(dāng)判別式△=a²-4≤0時(shí)，即0＜a≤2時(shí)，f′（x）≥0恒成立，此時(shí)函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，
2）當(dāng)△=a²-4＞0時(shí)，即a＞0時(shí)，方程x²-ax+1=0的兩個(gè)根x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$）時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$）時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
綜上當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞），無遞減區(qū)間．
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$），∈（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$）．
（2）由于g（x）=f（x）+2alnx=x-$\frac{1}{x}$+alnx，其定義域?yàn)椋?，+∞），
求導(dǎo)得，g′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}+ax+1}{{x}^{2}}$，
若g′（x）=0兩根分別為x₁，x₂，則有x₁•x₂=1，x₁+x₂=-a，
∴x₂=$\frac{1}{{x}_{1}}$，從而有a=-x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$，
則g（x₁）-g（x₂）=g（x₁）-g（$\frac{1}{{x}_{1}}$）=x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$+alnx₁-（$\frac{1}{{x}_{1}}$-x₁+aln$\frac{1}{{x}_{1}}$）=2（x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$）+2alnx₁=2（x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$）-2（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）lnx₁，
令h（x）=2（x-$\frac{1}{x}$）-2（x+$\frac{1}{x}$）lnx，x∈（0，e]，
則[g（x₁）-g（x₂）]_min=h（x）_min，
h′（x）=2（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-2[（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）lnx+（x+$\frac{1}{x}$）$\frac{1}{x}$]=$\frac{2（1+x）（1-x）lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，
x∈（1，e]時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，
則h（x）_min=h（e）=-$\frac{4}{e}$，
∴g（x₁）-g（x₂）的最小值為-$\frac{4}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性，極值，最值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用構(gòu)造法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．