Question

【題目】某高校在上學期依次舉行了“法律、環(huán)保、交通”三次知識競賽活動，要求每位同學至少參加一次活動．該高校2014級某班50名學生在上學期參加該項活動的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示．

（1）從該班中任意選兩名學生，求他們參加活動次數(shù)不相等的概率．
（2）從該班中任意選兩名學生，用ξ表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ．
（3）從該班中任意選兩名學生，用η表示這兩人參加活動次數(shù)之和，記“函數(shù)f（x）=x2﹣ηx﹣1在區(qū)間（3，5）上有且只有一個零點”為事件A，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：從該班任取兩名學生，他們參加活動的次數(shù)恰好相等的概率：

P= = ，故P=1﹣ =

（2）解：從該班中任選兩名學生，用ξ表示這兩學生參加活動次數(shù)之差的絕對值，則ξ的可能取值分別為：0，1，2，

于是P（ξ=0）= ，P（ξ=1）= = ，

P（ξ=2）= = ，從而ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P

Eξ=0× +1× +2× =

（3）解：因為函數(shù)f（x）=x2﹣ηx﹣1 在區(qū)間（3，5）上有且只有一個零點，則

f（3）f（5）＜0，即：（8﹣3η）（24﹣5η）＜0，

∴ ＜η＜ ，

又由于η的取值分別為：2，3，4，5，6，故η=3或4，

故所求的概率為：P（A）= =

【解析】（ 1）由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學生人數(shù)分別為5、25和20．由此能求出從該班中任選兩名學生，他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率，繼而求出不等的概率；．（2）從該班中任選兩名學生，用ξ表示這兩學生參加活動次數(shù)之差的絕對值，則ξ的可能取值分別為：0，1，2由此能求出ξ的分布列和ξ的數(shù)學期望；（3）根據(jù)函數(shù)零點定理，可得f（3）f（5）＜0，求出η的值，再根據(jù)古典概率求出事件A發(fā)生的概率．
【考點精析】本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列的相關(guān)知識點，需要掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．