Question

【題目】設(shè)數(shù)列（任意項都不為零）的前項和為，首項為，對于任意，滿足.

（1）數(shù)列的通項公式；

（2）是否存在使得成等比數(shù)列，且成等差數(shù)列？若存在，試求的值；若不存在，請說明理由；

（3）設(shè)數(shù)列，，若由的前項依次構(gòu)成的數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求正整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）

【解析】

（1）代入求得，利用可驗證出奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，由此得到和，進(jìn)而得到；

（2）假設(shè)存在滿足題意，利用等差中項和等比中項的定義可構(gòu)造方程組，得到，由可求得的范圍，結(jié)合得到，進(jìn)而求出；

（3）將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)為偶數(shù)時，，構(gòu)造函數(shù)和，可利用導(dǎo)數(shù)說明與的單調(diào)性，進(jìn)而確定的取值，同時得到的范圍，從而求得結(jié)果.

（1）數(shù)列是非零數(shù)列，.

當(dāng)時，，；

當(dāng)且時，，，

是首項為，公差為的等差數(shù)列，是首項為，公差為的等差數(shù)列，

，，

.

（2）設(shè)存在，滿足題意，

成等比數(shù)列，；

成等差數(shù)列，，

消去可得：，，

，，，解得：，

，，，，.

（3）若是單調(diào)遞增數(shù)列，則為偶數(shù)時，恒成立，

兩邊取自然對數(shù)化簡可得：，顯然，

設(shè)，則，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

在處取得極大值，

當(dāng)時，是遞減數(shù)列，又，是的最大值，

；

設(shè)，則，

是遞減數(shù)列，當(dāng)時，，當(dāng)時，，

當(dāng)時，存在，使得恒成立；

當(dāng)時，不成立，

至多前項是遞增數(shù)列，即正整數(shù)的最大值是.