Question

7．已知一曲線C是與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離比為$\frac{1}{2}$的點的軌跡．
（1）求曲線C的方程，并指出曲線類型；
（2）過（-2，2）的直線l與曲線C相交于M，N，且|MN|=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設M（x，y）是曲線上任意的一點，點M在曲線上的條件是$\frac{{|{MO}|}}{{|{MA}|}}=\frac{1}{2}$，由兩點間距離公式，轉化求解軌跡方程即可．
（2）當直線l斜率不存在時，$|{MN}|=2\sqrt{3}$，求出x．當直線l斜率存在時，設直線l的方程為y-2=k（x+2），即kx-y+2k+2=0，求出圓心到此直線的距離為$d，d=\sqrt{{2^2}-3}=1$，求出k，即可得到所求的直線l的方程．

解答 解：（1）設M（x，y）是曲線上任意的一點，點M在曲線上的條件是$\frac{{|{MO}|}}{{|{MA}|}}=\frac{1}{2}$．-------（2分）
由兩點間距離公式，上式用坐標表示為$\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{（x-3）}^2}+{y^2}}$，
整理得：x²+y²+2x-3=0，（x+1）²+y²=4--------（5分）
曲線C是以（-1，0）為圓心，以2為半徑的圓．------（6分）
（2）當直線l斜率不存在時，$|{MN}|=2\sqrt{3}$，∴x=-2-----（8分）
當直線l斜率存在時，設直線l的方程為y-2=k（x+2），即kx-y+2k+2=0，
設圓心到此直線的距離為$d，d=\sqrt{{2^2}-3}=1$，∴$1=\frac{{|{-k+2k+2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}，k=-\frac{3}{4}$，
所以直線l的方程：$y-2=-\frac{3}{4}（x+2），即3x+4y-2=0$，
直線l的方程：∴x=-2或3x+4y-2=0．-------（12分）

點評 本題考查軌跡方程的求法，直線與圓的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．