Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{10}x+1，x≤1}\\{lnx-1，x＞1}\end{array}\right.$，則方程f（x）=ax（a＞0）恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根時(shí)，求a的取值范圍是[$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{{e}^{2}}$）．

Answer 1

分析 如圖所示，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=lnx-1，f′（x）=$\frac{1}{x}$，令直線y=ax與曲線f（x）相切于點(diǎn)P（x₀，lnx₀-1），則a=$\frac{ln{x}_{0}-1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，解得x₀=e²，可得切線斜率：$\frac{1}{{e}^{2}}$＞$\frac{1}{10}$．當(dāng)a=$\frac{1}{10}$時(shí)，直線y=$\frac{1}{10}$x與f（x）=$\frac{1}{10}x$+1平行，無交點(diǎn)，直線y=$\frac{1}{10}$x與曲線f（x）=lnx-1有兩個(gè)不同交點(diǎn)．同理對(duì)當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{10}$時(shí)，當(dāng)$\frac{1}{10}$≤a$＜\frac{1}{{e}^{2}}$時(shí)，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖所示，
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=lnx-1，
f′（x）=$\frac{1}{x}$，令直線y=ax與曲線f（x）相切于點(diǎn)P（x₀，lnx₀-1），則a=$\frac{ln{x}_{0}-1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
解得x₀=e²，可得切線斜率：$\frac{1}{{e}^{2}}$＞$\frac{1}{10}$．
當(dāng)a=$\frac{1}{10}$時(shí)，直線y=$\frac{1}{10}$x與f（x）=$\frac{1}{10}x$+1平行，無交點(diǎn)，直線y=$\frac{1}{10}$x與曲線f（x）=lnx-1有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{10}$時(shí)，直線y=ax與曲線f（x）=lnx-1有兩個(gè)不同交點(diǎn)，與直線y=ax有一個(gè)交點(diǎn)，共有3個(gè)交點(diǎn)，舍去．
當(dāng)$\frac{1}{10}$≤a$＜\frac{1}{{e}^{2}}$時(shí)，直線y=ax與曲線f（x）=lnx-1有兩個(gè)不同交點(diǎn)，與直線y=ax沒有交點(diǎn)．
綜上可得：當(dāng)$\frac{1}{10}$≤a$＜\frac{1}{{e}^{2}}$時(shí)，方程f（x）=ax（a＞0）恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根．
故答案為：[$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{{e}^{2}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線單調(diào)性、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．