分析 (Ⅰ)由已知結(jié)合余弦定理求得PB、PC的長(zhǎng)度,可得AP⊥PB,AP⊥PC,再由線面垂直的判定可得AP⊥平面PBC,則AP⊥BC;
(Ⅱ)求解直角三角形可得PB=PC=$\sqrt{3}$,又∠BAC=$\frac{π}{3}$,得BC=2,進(jìn)一步求出△PBC邊BC上的高,得到${S}_{△PBC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}=\sqrt{2}$.結(jié)合VP-ABC=VA-PBC可得
三棱錐P-ABC的體積.
解答 (Ⅰ)證明:由已知可得$AP=1,AB=2,∠PAB=\frac{π}{3}$,
由余弦定理得$PB=\sqrt{A{P}^{2}+A{B}^{2}-2AP•AB•cos\frac{π}{3}}=\sqrt{3}$,則AB2=PB2+AP2,
∴AP⊥PB,同理AP⊥PC,又PB∩PC=P.
∴AP⊥平面PBC,則AP⊥BC;
(Ⅱ) 解:在Rt△APB中,由AB=2PA=2,得PB=$\sqrt{3}$,
同理求得PC=$\sqrt{3}$,又∠BAC=$\frac{π}{3}$,∴BC=2,
∴△PBC邊BC上的高為$\sqrt{(\sqrt{3})^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{2}$,
則${S}_{△PBC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
∵VP-ABC=VA-PBC,
∴${V_{P-ABC}}={V_{A-PBC}}=\frac{1}{3}AP•{S_{△PBC}}=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系,考查了空間想象能力和思維能力,訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積,是中檔題.
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A. | $\frac{π}{6}$ | B. | $\frac{π}{4}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{3π}{4}$ |
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A. | 命題p,q都正確 | B. | 命題p正確,命題q不正確 | ||
C. | 命題p,q都不正確 | D. | 命題q不正確,命題p正確 |
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