Question

15．如圖，棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為A₁B₁的中點
（1）求證：B₁C₁∥平面A₁BC；
（2）求三棱錐A₁-BPC₁的體積．

Answer 1

分析 （1）由B₁C₁∥BC，能證明B₁C₁∥平面A₁BC．
（2）由${V_{{A_1}-BP{C_1}}}={V_{{C_1}-{A_1}BP}}，高為{C_1}{B_1}=2$，能求出三棱錐A₁-BPC₁的體積．

解答 證明：（1）如圖，∵棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∴B₁C₁∥BC，
∵B₁C₁?平面ABC，BC?平面PBC，
∴B₁C₁∥平面A₁BC；…（6分）（沒寫B(tài)₁C₁?平面ABC，扣兩分）
解：（2）∵${V_{{A_1}-BP{C_1}}}={V_{{C_1}-{A_1}BP}}，高為{C_1}{B_1}=2$，
${S_{{A_1}B{P_1}}}=\frac{1}{2}{A_1}P×B{B_1}=\frac{1}{2}×1×2=1$，
∴${V_{{A_1}-BP{C_1}}}={V_{{C_1}-{A_1}BP}}=\frac{1}{3}×1×2=\frac{2}{3}$，
∴三棱錐A₁-BPC₁的體積為$\frac{2}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．