Question

20．已知橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，其離心率為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，若△PF₁F₂的面積為1且其內(nèi)切圓的半徑為$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)Q為橢圓C上異于長軸端點(diǎn)A₁，A₂的動點(diǎn)，定直線y=4與直線QA₁、QA₂分別相交于M、N兩點(diǎn)，已知點(diǎn)G（0，7），試判斷y軸上是否存在不同于點(diǎn)G的定點(diǎn)H，使得M，N，G，H四點(diǎn)共圓？若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用橢圓的離心率公式和三角形的面積求法，結(jié)合內(nèi)切圓的半徑和橢圓的定義，解方程可得a，c，再由a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{3}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，A₁（0，-2），A₂（0，2），求得QA₁，QA₂的方程，代入y=4，可得M，N的坐標(biāo)，求得圓心的橫坐標(biāo)，再由GM的中垂線經(jīng)過圓心，可得圓心的縱坐標(biāo)為定值4，即可得到H（0，1）．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$r（PF₁+PF₂+F₁F₂）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$（2a+2c）=1，
即為a+c=3，
解得c=1，a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）設(shè)Q（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{3}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，
A₁（0，-2），A₂（0，2），
直線QA₁：y=$\frac{n+2}{m}$x-2，
直線QA₂：y=$\frac{n-2}{m}$x+2，
令y=4，可得x_M=$\frac{6m}{n+2}$；
x_N=$\frac{2m}{n-2}$．
即有M（$\frac{6m}{n+2}$，4），N（$\frac{2m}{n-2}$，4），
由圓心在線段的垂直平分線上，可得
圓心的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$（$\frac{6m}{n+2}$+$\frac{2m}{n-2}$）=$\frac{4m（n-1）}{{n}^{2}-4}$，
再由直線GM的斜率為$\frac{4-7}{\frac{6m}{n+2}}$=-$\frac{n+2}{2m}$，
可得線段GM的中垂線的斜率為$\frac{2m}{n+2}$，
GM的中點(diǎn)為（$\frac{3m}{n+2}$，$\frac{11}{2}$），
可得GM的垂直平分線方程為y-$\frac{11}{2}$=$\frac{2m}{n+2}$（x-$\frac{3m}{n+2}$），
令x=$\frac{4m（n-1）}{{n}^{2}-4}$，可得y=$\frac{11}{2}$+$\frac{2m}{n+2}$•$\frac{mn+2m}{{n}^{2}-4}$
=$\frac{11}{2}$+$\frac{2{m}^{2}}{{n}^{2}-4}$=$\frac{11}{2}$+$\frac{3}{2}$•$\frac{4-{n}^{2}}{{n}^{2}-4}$=$\frac{11}{2}$-$\frac{3}{2}$=4．
即有圓心的縱坐標(biāo)為定值4，
可得y軸上存在不同于點(diǎn)G的定點(diǎn)H（0，1），
使得M，N，G，H四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和三角形的內(nèi)切圓的半徑的求法，考查圓的方程的求法和運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．