Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，∠BAC=90°，D為棱的中點(diǎn)．
（I）證明：A₁D⊥平面ADC；
（II）求異面直線(xiàn)A₁C與C₁D所成角的大��；
（III）求平面A₁CD與平面ABC所成二面角的大小（僅考慮銳角情況）．

Answer 1

解：（I）證：∵△A₁B₁D和△ABD都為等腰直角三角形
∴∠A₁DB₁=∠ADB=45°∴∠A₁DA=90°，即A₁D⊥AD（2分）
又∵
∴A₁D⊥平面ADC（4分）

（II）解：連AC₁交A₁C于E點(diǎn)，取AD中點(diǎn)F，連EF、CF，則EF∥C₁D
∴∠CEF是異面直線(xiàn)A₁C與C₁D所成的角（或補(bǔ)角）（5分）
，，
在△CEF中，（8分）
∴
則異面直線(xiàn)A₁C與C₁D所成角的大小為（9分）

（III）解：延長(zhǎng)A₁D與AB延長(zhǎng)線(xiàn)交于G點(diǎn)，連接CG
過(guò)A作AH⊥CG于H點(diǎn)，連A₁H，∵A₁A⊥平面ABC，∴A₁H⊥CG（三垂線(xiàn)定理）
則∠A₁HA是二面角A₁-CG-A的平面角，即所求二面角的平面角（10分）
在直角三角形ACG中，∵AC=a，AG=2a∴（11分）
在直角三角形A₁AH中，（13分）
∴，
即所求的二面角的大小為（14分）
分析：（I）為了證明A₁D⊥平面ADC，只需證明A₁D垂直平面ADC內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)AD和CA，即可．
（II）連AC₁交A₁C于E點(diǎn)，取AD中點(diǎn)F，連EF、CF，則EF∥C₁D，∠CEF是異面直線(xiàn)A₁C與C₁D所成的角，求解即可；
（III）延長(zhǎng)A₁D與AB延長(zhǎng)線(xiàn)交于G點(diǎn)，連接CG，過(guò)A作AH⊥CG于H點(diǎn)，連A₁H，則∠A₁HA是二面角A₁-CG-A的平面角，即所求二面角的平面角，求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面垂直的判定，異面直線(xiàn)所成的角、二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．