Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（t+2）=f（t-2），當-1＜x≤1時，f（x）=m

1-x2

（m＞0），當1＜x≤3時，f（x）=1-|x-2|．
（1）當m=2時，畫出函數(shù)y=f（x）在[-1，9]區(qū)間上的圖象；
（2）若方程3f（x）=x恰有5個實數(shù)解，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由已知周期為4，當x∈（-1，1]時，將函數(shù)化為方程x²+

y2

m2

=1（y≥0），實質上為一個半橢圓，由此根據(jù)周期性能作出函數(shù)其它部分的圖象．
（2）由圖知直線y=

x

3

與第二個橢圓（x-4）²+

y2

m2

=1（y≥0）相交，而與第三個半橢圓（x-4）²+

y2

m2

=1（y≥0）無公共點時，方程恰有5個實數(shù)解，由此能求出m的范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）滿足f（t+2）=f（t-2），
∴由已知周期為4．
因為當x∈（-1，1]時，將函數(shù)化為方程x²+

y2

m2

=1（y≥0），
實質上為一個半橢圓，其圖象如圖所示，
同時在坐標系中作出當x∈（1，3]得圖象，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖象，
由此得到函數(shù)y=f（x）在[-1，9]區(qū)間上的圖象．
（2）由圖知直線y=

x

3

與第二個橢圓（x-4）²+

y2

m2

=1（y≥0）相交，
而與第三個半橢圓（x-4）²+

y2

m2

=1（y≥0）無公共點時，
方程恰有5個實數(shù)解，將y=

x

3

代入（x-4）²+

y2

m2

=1（y≥0）得
（9m²+1）x²-72m²x+135m²=0，
令t=9m²（t＞0），則（t+1）x²-8tx+15t=0，
由△=（8t）²-4×15t（t+1）＞0，得t＞15，由9m²＞15，且m＞0得m＞

15

3

，
同樣由y=

x

3

與第二個橢圓（x-8）²+

y2

m2

=1（y≥0），
由△＜0，解得m＜

7

．
綜上知m∈（

15

3

，

7

）．

點評：本題考查函數(shù)圖象的作法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意橢圓性質的合理運用．