如圖,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)
(1)求證:MN平面PAD;
(2)若∠PAD=45°,求證:MN⊥平面PCD.
(1)證明:取PD中點(diǎn)E,連結(jié)AE,EN,則有EN 平行且等于
1
2
CD
,AM平行且等于
1
2
CD

故有 EN和 AM平行且相等,∴AMNE為平行四邊形,∴MNAE.
又AE?平面PAD,而 MN不在平面PAD內(nèi),所以MN平面PAD.-------(6分)
(2)∵PA⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,∴PA⊥AD.
又∠PDA=45°,∴△PAD為等腰直角三角形.
又E是PD中點(diǎn),∴AE⊥PD,又AEMN,∴MN⊥PD.
又ABCD為矩形,∴AB⊥AD.
又AB⊥PA,AD∩PA=A,∴AB⊥平面PAD.
∵AE?平面PAD,AB⊥AE,又ABCD,AEMN,∴MN⊥CD.
又∵PD∩CD=D,∴MN⊥平面PCD.…(12分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

一個(gè)四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形,側(cè)面展開圖如圖所示.SC為四棱錐中最長(zhǎng)的側(cè)棱,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)
(1)畫出四棱錐S-ABCD的示意圖,求二面角E-SC-D的大;
(2)求點(diǎn)D到平面SEC的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中E、F分別在A1D、AC上,且A1E=
2
3
A1D,AF=
1
3
AC,則(  )
A.EF至多與A1D、AC之一垂直
B.EF是A1D、AC的公垂線
C.EF與BD1相交
D.EF與BD1異面

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖是某直三棱柱ABC-DPQ被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖.在直觀圖中,M是BD的中點(diǎn).側(cè)視圖是直角梯形,俯視圖是等腰直角三角形,有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.
(1)求證:EM平面ABC;
(2)求出該幾何體的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,E為側(cè)棱PD的中點(diǎn),AC與BD的交點(diǎn)為O.求證:
(1)直線OE平面PBC;
(2)平面ACE⊥平面PBD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD垂直于底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,DCAB,∠BAD=90°,且AB=2AD=2DC=2PD=4,E為PA的中點(diǎn).
(1)如圖,若正視方向與AD平行,請(qǐng)?jiān)谙旅妫ù痤}區(qū))方框內(nèi)作出該幾何體的正視圖并求出正視圖面積;
(2)證明:DE平面PBC;
(3)求四棱錐P-ABCD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直,其中ABDC,AD=CD=
1
2
AB
,且O為AB中點(diǎn).
(I)求證:BC平面POD;
(II)求證:AC⊥PD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=
2
,AA′=1,點(diǎn)M,N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:MN平面A′ACC′;
(Ⅱ)求三棱錐A′-MNC的體積.
(椎體體積公式V=
1
3
Sh,其中S為地面面積,h為高)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,D為C1B的中點(diǎn),P為AB邊上的動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí),證明DP平面ACC1A1;
(Ⅱ)若AP=3PB,求三棱錐B-CDP的體積.

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同步練習(xí)冊(cè)答案