Question

18．已知中心在原點，焦點在y軸上的橢圓C，其上一點P到兩個焦點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=kx+1與曲線C交于A，B兩點，求△AOB面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由點P到兩個焦點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出a，b，c，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{y^2}{4}+{x^2}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，得（k²+4）x²+2kx-3=0，由此利用韋達定理、弦長公式、導數(shù)性質，結合已知條件能求出△AOB面積的取值范圍．

解答 解：（1）設橢圓的標準方程為$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，
∵點P到兩個焦點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴由條件得$a=2，c=\sqrt{3}，b=1$，
所以橢圓C的方程$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$…（6分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{y^2}{4}+{x^2}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，得（k²+4）x²+2kx-3=0，
故${x_1}+{x_2}=-\frac{2k}{{{k^2}+4}}，{x_1}{x_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}$①
設△AOB的面積為S，由${x_1}{x_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}＜0$，
知$S=\frac{1}{2}（{|{x_1}|+|{x_2}|}）=\frac{1}{2}|{{x_1}+{x_2}}|=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=2\sqrt{\frac{{{k^2}+3}}{{{{（{{k^2}+4}）}^2}}}}$
令k²+3=t，則t≥3，因此，$S=2\sqrt{\frac{1}{{t+\frac{1}{t}+2}}}$，
對函數(shù)$y=t+\frac{1}{t}（{t≥3}）$，知$y'=1-\frac{1}{t^2}=\frac{{{t^2}-1}}{t^2}＞0$
因此函數(shù)$y=t+\frac{1}{t}$在t∈[3，+∞）上單增，
∴$t+\frac{1}{t}≥\frac{10}{3}$，∴$0＜\frac{1}{{t+\frac{1}{t}+2}}≤\frac{3}{16}$，
∴△AOB面積的取值范圍j是（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、弦長公式、導數(shù)性質、橢圓性質的合理運用．