Question

9．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：${a_1}=\frac{1}{3}$，且$\frac{n}{a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}+n-1}}{{{a_{n-1}}}}（n∈{N^*}，n≥2）$，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 由$\frac{n}{a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}+n-1}}{{{a_{n-1}}}}（n∈{N^*}，n≥2）$，化為$\frac{n}{{a}_{n}}$-$\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$=2，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵$\frac{n}{a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}+n-1}}{{{a_{n-1}}}}（n∈{N^*}，n≥2）$，∴$\frac{n}{{a}_{n}}$-$\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$=2，
則數(shù)列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為3．
∴$\frac{n}{{a}_{n}}$=3+2（n-1）=2n+1．
∴a_n=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案為：$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．