Question

20．已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c=$\frac{5}{2}，b=\sqrt{6}，4a-3\sqrt{6}$cosA=0．
（1）求a的值；
（2）若B=λA，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理得12a²+80a-347=0，由此能求出a．
（2）求出cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，從而sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，進(jìn)而cos2A=cos²A-sin²A=$\frac{1}{3}$，再由余弦定理得cosB=$\frac{1}{3}$，由此得到cos2A=cosB，從而能求出λ．

解答 解：（1）∵△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，c=$\frac{5}{2}，b=\sqrt{6}，4a-3\sqrt{6}$cosA=0．
∴4a=3$\sqrt{6}$×$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∵c=$\frac{5}{3}$，b=$\sqrt{6}$，∴12a²+80a-347=0，
解得a=$\frac{3}{2}$或a=-$\frac{49}{6}$（舍）．
故a=$\frac{3}{2}$．
（2）由（1）可知cosA=$\frac{4}{3\sqrt{6}}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos2A=cos²A-sin²A=$\frac{1}{3}$，
∵$a=\frac{3}{2}$，c=$\frac{5}{2}$，b=$\sqrt{6}$，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{3}$，
∴cos2A=cosB，
∵△ABC中，c＞b＞a．∴B=2A，
∴λ=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．