Question

6．如圖，已知橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1上任意一點(diǎn)P（異于頂點(diǎn)）處的切線與該橢圓在長軸頂點(diǎn)A，B處的切線分別交于點(diǎn)M，N，該橢圓的左，右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，直線MF₁，NF₂的斜率分別是k₁，k₂．
（Ⅰ）求k₁•k₂的值；
（Ⅱ）求證：F₁，F(xiàn)₂，M，N四點(diǎn)共圓．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)P（x₁，y₁），則直線MN的方程為：$\frac{{x}_{1}x}{4}+\frac{{y}_{1}y}{3}$=1，且4y₁²=12-3x₁²，求出M（2，$\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），N（-2，$\frac{3}{{y}_{1}}+\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），由此能求出k₁•k₂的值．
（Ⅱ）連結(jié)MF₁，NF₂，交于點(diǎn)C，利用向量法求出∠MF₁N=∠MF₂N，又∠F₁CF₂=∠MCN，從而△F₁CN∽△F₂CM，進(jìn)而△F₁ON∽△F₂OM，∠F₂F₁M=∠F₂NM，由此得到∠F₂F₁N+∠NMF₂=180°．從而能證明F₁，F(xiàn)₂，M，N四點(diǎn)共圓．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)P（x₁，y₁），則直線MN的方程為：$\frac{{x}_{1}x}{4}+\frac{{y}_{1}y}{3}$=1，
且4y₁²=12-3x₁²
由題意知直線BN：x=-2，直線AM：x=2，A（2，0），B-2，0），F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}x}{4}+\frac{{y}_{1}y}{3}=1}\\{x=2}\end{array}\right.$，得M（2，$\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}x}{4}+\frac{{y}_{1}y}{3}=1}\\{x=-2}\end{array}\right.$，得N（-2，$\frac{3}{{y}_{1}}+\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），
∵直線MF₁，NF₂的斜率分別是k₁，k₂．
∴k₁=$\frac{\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}}{3}$=$\frac{1}{{y}_{1}}-\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$，k₂=$\frac{\frac{3}{{y}_{1}}+\frac{3{x}_{1}}{{2y}_{1}}}{-3}$=-$\frac{1}{{y}_{1}}-\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$，
k₁•k₂=（$\frac{1}{{y}_{1}}-\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$）（-$\frac{1}{{y}_{1}}-\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$）=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4{{y}_{1}}^{2}}-\frac{1}{{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-4}{4{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-4}{12-3{{x}_{1}}^{2}}$=-$\frac{1}{3}$．
證明：（Ⅱ）連結(jié)MF₁，NF₂，交于點(diǎn)C，
∵F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），M（2，$\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），N（-2，$\frac{3}{{y}_{1}}+\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=（3，$\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），$\overrightarrow{{F}_{1}N}$=（-1，$\frac{3}{{y}_{1}}+\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=（1，$\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=（-3，$\frac{3}{{y}_{1}}+\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}$），
∴cos＜$\overrightarrow{{F}_{1}N}，\overrightarrow{{F}_{1}M}$＞=$\frac{\overrightarrow{{F}_{1}N}•\overrightarrow{{F}_{1}M}}{|\overrightarrow{{F}_{1}N}|•|\overrightarrow{{F}_{1}M}|}$=$\frac{-3+\frac{9}{{{y}_{1}}^{2}}-\frac{9{{x}_{1}}^{2}}{4{{y}_{1}}^{2}}}{\sqrt{9+（\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}）^{2}}•\sqrt{9+（-\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}）}}$，
cos＜$\overrightarrow{{F}_{2}N}，\overrightarrow{{F}_{2}M}$＞=$\frac{\overrightarrow{{F}_{2}N}•\overrightarrow{{F}_{2}M}}{|\overrightarrow{{F}_{2}N}|•|\overrightarrow{{F}_{2}M}|}$=$\frac{-3+\frac{9}{{{y}_{1}}^{2}}-\frac{9{{x}_{1}}^{2}}{4{{y}_{1}}^{2}}}{\sqrt{9+（\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}）^{2}}•\sqrt{9+（-\frac{3}{{y}_{1}}-\frac{3{x}_{1}}{2{y}_{1}}）}}$，
∴∠MF₁N=∠MF₂N，又∠F₁CF₂=∠MCN，∴△F₁CN∽△F₂CM，
∴$\frac{O{F}_{2}}{O{F}_{1}}=\frac{OM}{ON}$，∴$\frac{O{F}_{2}}{OM}=\frac{O{F}_{1}}{ON}$，
又∠F₁ON=∠F₂OM，∴△F₁ON∽△F₂OM，∴∠F₂F₁M=∠F₂NM，
∴∠F₂F₁N+∠NMF₂=∠F₂F₁M+∠MF₁N+∠NMF₂=∠F₂NM+∠MF₂N+∠NMF₂=180°．
∴F₁，F(xiàn)₂，M，N四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評 本題考查兩直線斜率乘積的求法，考查四點(diǎn)共圓的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓、直線方程、相似三角形、向量等知識點(diǎn)的合理運(yùn)用．